Merkezi farklarda, ileri ve geri farklardan farklı olarak bulunulan noktanın kordinatları yerine bir önceki ve sonraki noktanın y ve x kordinatlarıyla türev hesaplanmaktadır. Matematik olarak şöyle gösterilebilir.

f^{\prime}(x) \cong \frac{f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i-1}\right)}{x_{i+1}-x_{i-1}}=\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{x_{i+1}-x_{i-1}}

Şimdi yukarıdaki işlemi Python için kodlayalım.

def central(y, x):
     dyc = np.zeros(len(x)-2)
     for i in range(1,len(x)-1):
         dyc[i-1] = (y[i + 1] - y[i - 1]) / (x[i + 1] - x[i - 1])
     return dyc

Farklı olarak merkezi farklar yönteminde ilk noktanın ve son noktanın türevi hesaplanamaz, çünkü ilk noktanın bir önceki noktası son noktanın da bir sonraki noktası yoktur. Böylece for döngüsünü 1’den başlatıp sondan bir önceki elemana kadar döndürüyoruz. Göreceğiniz üzere for döngüsü içine yazılan denklem yukarıdaki denklemin tam olarak aynısı.

Böylece yukarıda göreceğiniz üzere üç farklı yöntemle türev hesaplama için fonksiyon oluşturduk. Çoğu zaman merkezi farklar yöntemiyle analitik türeve daha yakın sonuçlar elde edebiliriz, ancak ilk ve son noktanın türevleri bu yöntemle hesaplanamıyor. Eğer her noktanın türevi gerekliyse, merkezi farklarla türev hesaplanıp, ilk noktada ileri farklar son noktada geri farklar ile türev hesaplanabilir.

Ders 1.4: Türev Yöntemlerinin Kıyaslanması

Serdar Turgut İnce